PuTTY хранит сохраненные сессии в реестре (в незашифрованном виде), чтобы их перенести на другой компьютер, нужно выполнить команду:
regedit /e "%userprofile%\desktop\putty-sessions.reg" HKEY_CURRENT_USER\Software\SimonTatham\PuTTY\Sessions (вводить в одну строку!) или regedit /e "%userprofile%\desktop\putty.reg" HKEY_CURRENT_USER\Software\SimonTatham
В результате выполнения команды будет создан reg-файл со всеми настройками. На новом ПК достаточно просто запустить этот файл и настройки добавятся в реестр (при добавлении потребуется подтверждение).